Rumus, Soal Pembahasan Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Untuk menentukan apakah garis memotong, menyinggung atau tidak mengenai lingkaran pertama jika terdapat garis y=mx+n, maka subtitusikan ke persamaan lingkaran nilai y tersebut. Lalu cari diskriminan ($ D = b^2 - 4ac $). Posisinya akan didefenisikan sebagai berikut,

1. Jika $ D < 0 $ , maka garis tidak menyentuh lingkaran  
2.  Jika $ D = 0 $, maka maka garis menyinggung lingkaran
3.  Jika $D > 0 $, maka garis memotong lingkaran di dua titik.

Contoh Soal:

Soal 1. Tentukan posisi garis $ x - y + 1 = 0 $ terhadap lingkaran $ x^2 + y^2 = 25$. Jika berpotongan, tentukan titik potongnya. !

Penyelesaian :
Substitusi persamaan garis ke persamaan lingkaran
$ x - y + 1 = 0 \rightarrow y = x + 1 $
Persamaan lingkarannya : $ x^2 + y^2 = 25 $
$ \begin{align} x^2 + y^2 & = 25 \\ x^2 + (x+1)^2 & = 25 \\ x^2 + (x^2 + 2x + 1) & = 25 \\ 2x^2 + 2x + - 24 & = 0 \, \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ x^2 + x + - 12 & = 0 \\ a = 1, \, b = 1, \, c & = -12 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = 1^2 - 4.1.(-12) \\ & = 1 + 48 \\ & = 49 \end{align} $
Diperoleh $ D = 49 > 0 \, $ , artinya kedudukan garis $ y = x + 1 \, $ memotong lingkaran $ x^2 + y^2 = 25 $ di dua titik yang berbeda.
Menentukan titik potong garis dan lingkaran.
$ \begin{align} x^2 + x + - 12 & = 0 \\ (x - 3)(x + 4 ) & = 0 \\ x = 3 \vee x & = -4 \\ x = 3 \rightarrow y & = x + 1 \\ y & = 3 + 1 = 4 \\ x = -4 \rightarrow y & = x + 1 \\ y & = -4 + 1 = -3 \end{align} $
Sehingga titik potong garis terhadap lingkaran adalah (3,4) dan (-4,-3).

Soal 2. Diketahui garis lurus $ g $ dengan persamaan $ y = mx + 2 $ dan lingkaran L dengan persamaan $x^2 + y^2 = 4$. Agar garis $ g $ memotong lingkaran L di dua titik yang berbeda, tentukan nilai $m $ yang memenuhi.!
Penyelesaian :
Substitusi garis ke persamaan lingkaran.
$ \begin{align} y = mx + 2 \rightarrow x^2 + y^2 & = 4 \\ x^2 + (mx+2)^2 & = 4 \\ x^2 + (m^2x^2 + 4mx + 4) & = 4 \\ (m^2+1)x^2 + 4mx & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = 4m, \, c & = 0 \\ D & = b^2 - 4ac \\ & = (4m)^2 - 4.(m^2+1).0 \\ & = 16m^2 - 0 \\ & = 16m^2 \end{align} $
Syarat garis memotong lingkaran di dua titik : $ D > 0 $
$ \begin{align} D & > 0 \\ 16m^2 & > 0 \\ m^2 & > 0 \end{align} $
Karena nilai $ m^2 \, $ selalu positif, maka $ m^2 > 0 \, $ terpenuhi untuk semua nilai $ m \, $ kecuali $ m = 0 . \, $
Jadi, penyelesaiannya : $ \{ m \in R , \, m \neq 0 \} \, $ atau bisa ditulis $ \{ m < 0 \vee m > 0 \} $ .