Soal-Jawab Menentukan Garis Tinggi Segitiga

Sebuah segitiga ABC dengan AB = 5 cm, BC = 7 cm, dan AC = 6 cm. Garis tinggi AD dan BE berpotongan di titik O. Tentukan perbandingan panjang AO:OD dan perbandingan BO : OE.

Penyelesaian :
Gunakan garis tinggi (dalil proyeksi) dan dalil Menelaus.

Untuk Penjelasan Silakanbaca referensi :

1. Dalil Proyeksi
2. Dalil Menelaus

Dalil proyeksi untuk garis tinggi AD dan BE.
garis tinggi AD :
$ \begin{align} AC^2 & = AB^2 + BC^2 - 2 . BC . BD \\ 6^2 & = 5^2 + 7^2 - 2 . 7 . BD \\ 36 & = 25 + 49 - 14. BD \\ 36 & = 25 + 49 - 14. BD \\ 14BD & = 38 \\ BD & = \frac{38}{14} = \frac{19}{7} \end{align} $

Panjang $ DC = 7 - BD = 7 - \frac{19}{7} = \frac{30}{7} $.

garis tinggi BE :
$ \begin{align} BC^2 & = AB^2 + AC^2 - 2 . AC . AE \\ 7^2 & = 5^2 + 6^2 - 2 . 6 . AE \\ 49 & = 25 + 36 - 12. AE \\ AE & = 1 \end{align} $

Sehingga panjang $ CE = 6 - AE = 6 - 1 = 5 $.

Dalil Menelaus untuk perbandingan garis,

Perbandingan AO : OD,
$ \begin{align} \frac{DO}{AO}. \frac{AE}{EC}. \frac{CB}{DB} & = 1 \\ \frac{DO}{AO}. \frac{1}{5}. \frac{7}{\frac{19}{7}} & = 1 \\ \frac{DO}{AO}. \frac{1}{5}. \frac{49}{19} & = 1 \\ \frac{DO}{AO}. \frac{49}{95} & = 1 \\ \frac{DO}{AO} & = \frac{95}{49} \end{align} $
Sehingga perbandingan AO : DO = 49 : 95.

Perbandingan BO : OE,
$ \begin{align} \frac{EO}{OB}. \frac{BD}{DC}. \frac{CA}{AE} & = 1 \\ \frac{EO}{OB}. \frac{\frac{19}{7}}{\frac{30}{7}}. \frac{6}{1} & = 1 \\ \frac{EO}{OB}. \frac{19}{30}. \frac{6}{1} & = 1 \\ \frac{EO}{OB}. \frac{19}{5} & = 1 \\ \frac{EO}{OB} & = \frac{5}{19} \end{align} $

Sehingga perbandingan BO : OE = 19 : 5..