Soal Jawab Menentukan Panjang Garis Berat Segitiga
Anda harus paham materi dan silakan baca jika belum paham teori dan rumus dasarnya:
Soal
Segitiga ABC siku-siku di A. Garis berat AD tegak lurus garis berat BE berpotongan di titik O. Jika panjang $ AB = x , \, $ maka tentukan panjang BE!
Pembahasan
Persamaan dari tegak lurus.
Segitiga ABC siku-siku di A :
$ AB^2 + AC^2 = BC^2 \rightarrow x^2 + b^2 = a^2 \rightarrow b^2 - a^2 = -x^2 \, $ ....pers(i)
Segitiga AOB siku-siku di titik O :
BO : OE = 2 : 1, sehingga $ BO = \frac{2}{3}BE $.
AO : OD = 2 : 1, sehingga $ AO = \frac{2}{3}AD $.
$ AO^2 + OB^2 = AB^2 \rightarrow (\frac{2}{3}AD)^2 + (\frac{2}{3}BE)^2 = x^2 $
$ \frac{4}{9}AD^2 + \frac{4}{9}BE^2 = x^2 \rightarrow AD^2 + BE^2 = \frac{9}{4}x^2 \, $ ....pers(ii).
Persamaan dari garis berat.
Garis berat $ AD $
$ \begin{align} AD^2 & = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2}AC^2 - \frac{1}{4} BC^2 \\ AD^2 & = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{4} a^2 \, \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \end{align} $
Garis berat $ BE = \sqrt{31} $
$ \begin{align} BE^2 & = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2}BC^2 - \frac{1}{4} AC^2 \\ BE^2 & = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{4} b^2 \, \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \end{align} $
Eliminasi pers(iii) dan pes(iv) dan gunakan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} AD^2 = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{4} a^2 & \\ BE^2 = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{4} b^2 & - \\ \hline AD^2 - BE^2 = \frac{1}{2}(b^2-a^2) + \frac{1}{4}(b^2 - a^2) & \\ AD^2 - BE^2 = \frac{3}{4}(b^2-a^2) & \\ AD^2 - BE^2 = \frac{3}{4}(-x^2) & \\ AD^2 - BE^2 = -\frac{3}{4}x^2 & \end{array} $
Kita peroleh : $ AD^2 - BE^2 = -\frac{3}{4}x^2 \, $ ....pers(v).
Eliminasi pers(ii) dan pers(v) :
$\begin{array}{cc} AD^2 + BE^2 = \frac{9}{4}x^2 & \\ AD^2 - BE^2 = -\frac{3}{4}x^2 & - \\ \hline 2BE^2 = 3x^2 & \\ BE^2 = \frac{3}{2} x^2 & \end{array} $
Dari bentuk $ BE^2 = \frac{3}{2} x^2 $, kita peroleh :
$ BE^2 = \frac{3}{2} x^2 \rightarrow BE^2 = \frac{6}{4} x^2 \rightarrow BE = \sqrt{\frac{6}{4} x^2 } = \frac{1}{2}x\sqrt{6} $.
Jadi, kita peroleh panjang $ BE = \frac{1}{2}x\sqrt{6} $
Segitiga ABC siku-siku di A :
$ AB^2 + AC^2 = BC^2 \rightarrow x^2 + b^2 = a^2 \rightarrow b^2 - a^2 = -x^2 \, $ ....pers(i)
Segitiga AOB siku-siku di titik O :
BO : OE = 2 : 1, sehingga $ BO = \frac{2}{3}BE $.
AO : OD = 2 : 1, sehingga $ AO = \frac{2}{3}AD $.
$ AO^2 + OB^2 = AB^2 \rightarrow (\frac{2}{3}AD)^2 + (\frac{2}{3}BE)^2 = x^2 $
$ \frac{4}{9}AD^2 + \frac{4}{9}BE^2 = x^2 \rightarrow AD^2 + BE^2 = \frac{9}{4}x^2 \, $ ....pers(ii).
Persamaan dari garis berat.
Garis berat $ AD $
$ \begin{align} AD^2 & = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2}AC^2 - \frac{1}{4} BC^2 \\ AD^2 & = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{4} a^2 \, \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \end{align} $
Garis berat $ BE = \sqrt{31} $
$ \begin{align} BE^2 & = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2}BC^2 - \frac{1}{4} AC^2 \\ BE^2 & = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{4} b^2 \, \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \end{align} $
Eliminasi pers(iii) dan pes(iv) dan gunakan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} AD^2 = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{4} a^2 & \\ BE^2 = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{4} b^2 & - \\ \hline AD^2 - BE^2 = \frac{1}{2}(b^2-a^2) + \frac{1}{4}(b^2 - a^2) & \\ AD^2 - BE^2 = \frac{3}{4}(b^2-a^2) & \\ AD^2 - BE^2 = \frac{3}{4}(-x^2) & \\ AD^2 - BE^2 = -\frac{3}{4}x^2 & \end{array} $
Kita peroleh : $ AD^2 - BE^2 = -\frac{3}{4}x^2 \, $ ....pers(v).
Eliminasi pers(ii) dan pers(v) :
$\begin{array}{cc} AD^2 + BE^2 = \frac{9}{4}x^2 & \\ AD^2 - BE^2 = -\frac{3}{4}x^2 & - \\ \hline 2BE^2 = 3x^2 & \\ BE^2 = \frac{3}{2} x^2 & \end{array} $
Dari bentuk $ BE^2 = \frac{3}{2} x^2 $, kita peroleh :
$ BE^2 = \frac{3}{2} x^2 \rightarrow BE^2 = \frac{6}{4} x^2 \rightarrow BE = \sqrt{\frac{6}{4} x^2 } = \frac{1}{2}x\sqrt{6} $.
Jadi, kita peroleh panjang $ BE = \frac{1}{2}x\sqrt{6} $
Posting Komentar untuk "Soal Jawab Menentukan Panjang Garis Berat Segitiga"