Pembahasan Soal UM UGM MAT IPA 2019 Kode Soal 624 (Garis Singgung)

Jika garis singgung kurva $ y = x^3 - 3x^2 - 9x $ di titik $ (a,b) $ mempunyai gradien 15, maka nilai $ a + b $ yang mungkin adalah ....
A). $ 0 \, $
B). $ -2 \, $
C). $ -4 \, $
D). $ -6 \, $
E). $ -8 $

Catatan
Garis singgung kurva $ y = f(x) $ di titik $ (x_1,y_1) $ :
Gradien garis singgungnya : $ m = f^\prime (x_1) $ atau $ f^\prime (x_1) = m $
Titik singgung $ (x_1,y_1) $ dapat disubstitusikan ke fungsi kurvanya.
Turunan fungsi aljabar :
$ y = cx \rightarrow y^\prime = c $
$ y = cx^n \rightarrow y^\prime = n.cx^{n-1} $

Jawab
Garis singgung kurva $ y = x^3 - 3x^2 - 9x $ di titik $ (a,b) $. Substitusi titik $(x,y)=(a,b) $ ke kurvanya :
$ b = a^3 - 3a^2 - 9a \, $ ......(i)

Turunan fungsi kurvanya :
$ f^\prime (x) = 3x^2 - 6x - 9 $

Gradien garis singgung = 15 di titik $ (a,b) $
$\begin{align} f^\prime (a) & = m \\ 3a^2 - 6a - 9 & = 15 \\ 3a^2 - 6a - 24 & = 0 \\ a^2 - 2a - 8 & = 0 \\ (a+2)(a-4) & = 0 \\ a = -2 \vee a & = 4 \end{align} $

Nilai $ b $ dari pers(i) dan $ a + b $ :
Persamaan (i) : $ b = a^3 - 3a^2 - 9a $
$\begin{align} a = -2 \rightarrow b & = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) \\ b & = -8 - 12 + 18 \\ b & = -2 \\ a + b & = -2 + (-2) = -4 \\ a = 4 \rightarrow b & = 4^3 - 3(4)^2 - 9(4) \\ b & = -20 \\ a + b & = 4 + (-20) = -16 \end{align} $
Sehingga nilai $ a + b = -4 $ atau $ a + b = -16 $
Yang ada di option adalah $ a + b = -4 $.
Jadi, nilai $ a + b = -4 . $