Soal Pembahasan (Lingkaran) UM UGM MAT IPA 2019 Kode Soal 924

Diberikan lingkaran pada bidang koordinat dengan titik pusat $ (a,b)$ dan memotong sumbu-X di titik $ (3,0) $ dan $ (9,0) $. Jika garis yang melalui titik $ (0,3) $ menyinggung lingkaran di titik $ (3,0) $, maka nilai dari $ a^2-b^2 $ adalah ....
A). $ 9 \, $
B). $ 18 \, $
C). $ 27 \, $
D). $ 36 \, $
E). $ 45 \, $

Catatan
*). Persamaan lingkaran berpusat $(a,b) $ dan jari-jari $ r $ :
$ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
*). Jarak titik $ (a,b) $ dan $ (m,n) $ :
Jarak $ = \sqrt{(a-m)^2 + (b - n)^2} $
*). Gradien garis melalui dua titik $ (x_1, y_1) $ dan $ (x_2, y_2) $ :
$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } $
*). Dua garis tegak lurus :
$ m_1. m_2 = - 1 $
(perkalian kedua gradiennya = $ - 1 $)
*). Titik yang dilalui oleh lingkaran maka titik tersebut bisa disubstitusikan ke persamaan lingkarannya.

Jawaban
Gambar lingkaran dan garisnya :
 
*). Menentukan gradien :
-). garis melalui titik $(0,3) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{3-0}{0-3} = -1 $
-). garis melalui titik $(a,b) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{b-0}{a-3} = \frac{b}{a-3} $
-). Kedua garis saling tegak lurus :
$\begin{align} m_1.m_2 & = -1 \\ -1.\frac{b}{a-3} & = -1 \\ b & = a - 3 \, \, \, \, \, \, .....\text{(i)} \end{align} $
*). Menentukan jari-jari lingkaran :
Jari-jari lingkaran = jarak titik $ (a,b) $ ke titik $(3,0) $
$\begin{align} r & = \sqrt{(a-3)^2 + (b-0)^2} = \sqrt{(a-3)^2 + b^2} \end{align} $
*). Menyusun persamaan lingkarannya :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = r^2 \\ (x-a)^2 + (y-b)^2 & = (\sqrt{(a-3)^2 + b^2})^2 \\ (x-a)^2 + (y-b)^2 & = (a-3)^2 + b^2 \end{align} $
*). Substitusi titik $ (9,0) $ ke persamaan lingkarannya :
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 & = (a-3)^2 + b^2 \\ (9-a)^2 + (0-b)^2 & = (a-3)^2 + b^2 \\ (9-a)^2 + b^2 & = (a-3)^2 + b^2 \\ (9-a)^2 & = (a-3)^2 \\ 81 - 18a + a^2 & = a^2 - 6a + 9 \\ 12a & = 72 \\ a & = 6 \end{align} $
Pers(i): $ b = a- 3 = 6 - 3 = 3 $
*). Menentukan nilai $ a^2-b^2 $ :
$\begin{align} a^2-b^2 & = 6^2 - 3^2 = 27 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2-b^2 = 27 $

Alternatif

Jawaban
Gradien garis melalui dua titik $ (x_1, y_1) $ dan $ (x_2, y_2) $ :
$ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } $
Dua garis tegak lurus :
$ m_1. m_2 = - 1 $

Jawab
Gambar lingkaran dan garisnya :
 
Perhatikan sketsa gambar lingkaran di atas, pusat lingkarannya $ (a,b) $ dimana $ a $ adalah absis yang nilainya ditengah-tengah $ x = 3 $ dan $ x = 9 $, sehingga $ a = \frac{3+9}{2} = 6 $.
*). Menentukan gradien :
-). garis melalui titik $(0,3) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{3-0}{0-3} = -1 $
-). garis melalui titik $(a,b) $ dan $ (3,0) $ :
$ m_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1 } = \frac{b-0}{a-3} = \frac{b}{a-3} $
-). Kedua garis saling tegak lurus :
$\begin{align} m_1.m_2 & = -1 \\ -1.\frac{b}{a-3} & = -1 \\ b & = a - 3 \, \, \, \, \, \, .....\text{(i)} \end{align} $
-). Substitusi nilai $ a = 6 $ ke pers(i) :
$ b = a- 3 = 6 - 3 = 3 $
*). Menentukan nilai $ a^2-b^2 $ :
$\begin{align} a^2-b^2 & = 6^2 - 3^2 = 27 \end{align} $
Jadi, nilai $ a^2-b^2 = 27 . \, \heartsuit $