ANALISIS VEKTOR: RUMUS DAN CONTOH SOAL

MATERI KINEMATIKA DENGAN ANALISIS VEKTOR

GERAK LURUS

Vektor satuan.

• Vektor yang mengarah sumbu x satuannya i.
• Vektor yang mengarah sumbu y satuannya j.
• Vektor yang mengarah sumbu z satuannya k.

Vektor posisi

Dengan r adalah vektor posisi, x menyatakan titik koordinat pada sumbu x dan y adalah titik koordinat pada sumbu y.

Vektor perpindahan

Perpindahan adalah perubahan posisi suatu partikel dalam selang waktu tertentu.

Dengan Δr menyatakan vektor perpindahan dan r1 dan r2 menyatakan vektor posisi pertama dan kedua.

Vektor kecepatan rata-rata

Adalah hasil bagi antara vektor perpindahan (Δr) dengan selang waktu (Δt).



Dengan vr = vektor kecepatan rata-rata.

Vektor kecepatan sesaat

Adalah turunan pertama dari fungsi posisi (r) terhadap waktu (t).

Vektor percepatan rata-rata

Adalah perubahan kecepatan (Δv) dalam selang waktu (Δt) tertentu.

Vektor percepatan sesaat

Adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan (v) terhadap waktu (t).

Menentukan vektor posisi dari vektor kecepatan

Menentukan vektor kecepatan dari vektor percepatan

GERAK MELINGKAR

Posisi sudut (θ) dan perpindahan sudut (Δθ)

Dengan Δθ menyatakan perpindahan sudut, θ1 dan θ2 menyatakan posisi sudut pertama dan kedua.

Kecepatan sudut rata-rata

Adalah hasil bagi antara perpindahan sudut (Δθ) dengan selang waktu (Δt).

Kecepatan sudut sesaat

Adalah turunan pertama dari fungsi posisi sudut (θ) terhadap waktu (t).

Vektor percepatan sudut rata-rata

Adalah perubahan kecepatan sudut (Δω) dalam selang waktu (Δt) tertentu.

Vektor percepatan sudut sesaat

Adalah turunan pertama dari fungsi kecepatan sudut (ω) terhadap waktu (t).

Menentukan posisi sudut dari kecepatan sudut

Menentukan kecepatan sudut dari percepatan sudut

GERAK PARABOLA

 

Waktu untuk mencapai ketinggian maksimum

Ketinggain maksimum

Jangkauan maksimum/jarak mendatar.

Keterangan:
t = waktu mencapai ketinggian maksimum (s).
v0 = kecepatan awal (m/s).
θ = sudut elevasi.
g = percepatan gravitasi (10 m/s²).
h = ketinggian maksimum.
x = jangkauan/jarak mendatar (m).

Contoh soal kinematika dengan analisis vektor dan pembahasan

Pembahasan soal vektor kecepatan

Nomor 1
Jika sebuah pertikel bergerak dengan persamaan posisi r = 5t² + 1, kecepatan rata-rata antara t1 = 2 s dan t2 = 3 s adalah...
A. 25 m/s
B. 30 m/s
C. 35 m/s
D. 40 m/s
E. 45 m/s

Pembahasan:
a. Terlebih dahulu hitung r1 → t1 = 2 s
r1 = 5t² + 1 = 5 (2)² + 1 = 5 . 4 + 1
r1 = 21 m
b. Menghitung r2 → t2 = 3 s
r1 = 5t² + 1 = 5 (3)² + 1 = 5 . 9 + 1
r1 = 46 m
c. Menghitung perpindahan Δr.
Δr = r2 – r1 = 46 – 21 = 25 m
d. Menghitung kecepatan rata-rata vr.


Nomor 2
Sebuah partikel pada t1 = 0 berada pada koordinat (2,4) dan t2 = 2 detik berada pada (8,6) maka vektor kecepatan rata-ratanya adalah...
A. 3 i + 2 j
B. 4 i + 3j
C. 3i + j
D. 2i + 4 j
E. 4i + 3j

Pembahasan:
a. Terlebih dahulu tentukan persamaan posisi r1 (2,4).
r1 = x i + y j = 2 i + 4 j

Ingat!
(2,4) berarti x = 2 dan y = 4.

b. Persamaan posisi r2 (8,6).
r2 = x i + y j = 8 i + 6 j

c. Persamaan perpindahan Δr
Δr = r2 – r1 = (8 i + 6 j) – (2 i + 4 j)
Δr = 8 i + 6 j – 2 i – 4 j = 6 i + 2 j

Ingat!
Vektor dapat dijumlahkan jika vektor satuannya sama.

d. Persamaan vektor kecepatan vr.

Nomor 3
Sebuah partikel bergerak dengan vektor posisi r = (2t² – t) i – (t³ + t) j dalam satuan SI. Besar kecepatan partikel pada t = 1 s adalah...
A. 1 m/s
B. 3 m/s
C. 4 m/s
D. 5 m/s
E. 7 m/s

Pembahasan soal vektor percepatan

Kedudukan sebuah benda titik yang bergerak dalam bidang datar dinyatakan dengan persamaan: r = (5 t² – 2 t) i + 6 t j dengan ketentuan r dalam meter dan t dalam sekon. Nilai percepatan benda pada saat t = 2 sekon adalah...
A. 6 m/s²
B. 10 m/s²
C. 18 m/s²
D. 24 m/s²
E. 28 m/s²

Pembahasan soal vektor perpindahan

Nomor 1

Benda yang bergerak lurus memiliki persamaan kecepatan:
v = (3 – 6t) i + (4 + 8t) j
Perpindahan benda tersebut selama selang waktu sekon kedua sampai sekon ketiga adalah...
A. 10 m
B. 14 m
C. 25 m
D. 42 m
E. 60 m



Nomor 2
Sebuah benda yang semula berada di titik acuan bergerak dengan kecepatan v = 2 i – 1,5 j m/s. Setelah bergerak 4 sekon benda berpindah sejauh...
A. 2 m
B. 10 m
C. 12 m
D. 14 m
E. 25 m

Pembahasan soal vektor kecepatan sudut

Nomor 1
Posisi sudut suatu titik roda yang berputar dapat dinyatakan sebagai fungsi waktu (t):
θ = 5 + 10t + 2t² dengan θ dan t dalam sekon. Kecepatan sudut pada t = 3 s sebesar...
A. 32 rad/s
B. 24 rad/s
C. 22 rad/s
D. 20 rad/s
E. 10 rad/s



Nomor 2
Posisi sudut suatu titik pada roda dinyatakan: θ = 5 + 2t + 3t², θ dalam radian dan t dalam sekon. Laju anguler rata-rata roda antara t = 1 s sampai t = 3 s adalah...
A. 10 rad/s
B. 14 rad/s
C. 16 rad/s
D. 18 rad/s
E. 20 rad/s



Nomor 3
Kelajuan anguler sebuah benda diketahui sebagai berikut:
ω = (3t² + 6t – 2) rad/s, t dalam sekon.
Pada t = 0,5 sekon, nilai percepatan sudut benda itu adalah...
A. 15 rad/s²
B. 12 rad/s²
C. 9 rad/s²
D. 6 rad/s²
E. 3 rad/s²

Pembahasan soal percepatan sudut

Nomor 1
Posisi sudut sebuah benda yang bergerak rotasi dinyatakan dengan θ = 8 + 10t + 2t² rad dengan t dalam sekon. Besar percepatan rata-rata antara t = 1 s sampai t = 3 s adalah...
A. 2 rad/s²
B. 4 rad/s²
C. 6 rad/s²
D. 8 rad/s²
E. 10 rad/s²

Pembahasan soal posisi sudut

Pembahasan soal gerak parabola

Nomor 1
Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan awal 100 m/s dan sudut elevasi 30^o. Jika gravitasi ditempat itu 10 m/s², maka waktu yang diperlukan peluru tersebut untuk mencapai titik tertinggi adalah...
A. 2 sekon
B. 5 sekon
C. 6 sekon
D. 10 sekon
E. 15 sekon



Nomor 2
Seorang anak melempar batu dengan kecepatan awal 12,5 m/s dan sudut elevasi 30^o terhadap horizontal.. jika percepatan gravitasi 10 m/s2, waktu yang diperlukan batu tersebut sampai ke tanah adalah...
A. 0,4 s
B. 0,6 s
C. 1,25 s
D. 1,60 s
E. 2,50 s



Nomor 3
Sebuah benda dilempar dari suatu tempat yang tingginya 20 m di atas tanah dengan kecepatan 40 m/s dan sudut elevasi 60^o terhadap horizontal. Jika g = 10 m/s², maka tinggi maksimum yang dapat dicapai benda dari permukaan tanah adalah...
A. 20 m
B. 40 m
C. 60 m
D. 80 m
E. 100 m



Nomor 4
Sebuah bola ditendang dengan kecepatan awal 10 m/s dan sudut elevasi 30^o. Jika g = 10 m/s² maka jarak terjauh yang dapat dicapai bola adalah...
A. 20 √(3 ) m
B. 20 m
C. 10 √(3 ) m
D. 5√(3 ) m
E. 5 m

 

Soal latihan kinematika dengan analisis vektor

Nomor 1
Posisi sebuah benda dinyatakan dengan: r = 15√3 t i + (15 t – 15 t²) j meter. Setelah benda bergerak 1,5 s kelajuannya menjadi...
A. 0
B. 15 m/s
C. 11,5 √3 m/s
D. 22,5 m/s
E. 15√3 m/s

Nomor 2

Gerak sebuah benda memiliki persamaan: r = (– 6 – 3t) i + (8 + 4t) j dalam satuan SI. Dari data tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut:

1. Koordinat awal (– 6,8)
2. Kelajuan awal 10 m/s
3. Lintasan lurus
4. Perpindahan 7 m

Pernyataan yang benar adalah...
1, 2, dan 3
1, 2, 3, dan 4
1 dan 3
2 dan 4
4 saja

Nomor 3

Sebuah peluru ditembakkan dengan kecepatan 20 m/s. Jika sudut elevasinya 60^o dan percepatan gravitasi 10 m/s², maka peluru mencapai titik tertinggi setelah...
A. 1 sekon
B. 2 sekon
C. √3 sekon
D. 2√3 sekon
E. 3√2 sekon

Nomor 4

Peluru ditembakkan dengan kecepatan awal 30 m/s dan sudut elevasi 30^o terhadap bidang horizontal. Pada saat mencapai titik tertinggi kecepatannya adalah...
A. 30√3 m/s
B. 30 m/s
C. 0
D. 15 m/s
E. 15√3 m/s

Nomor 5

Sebuah peluru ditembakkan dari sebuah puncak menara yang tingginya 500 m dengan kecepatan 100 m/s dan arah mendatar. Apabila g = 10 m/s², dimanakah peluru menyentuh tanah dihitung dari kaki menara?
A. 1000 m
B. 900 m
C. 800
D. 600 m
E. 500 m