Soal dan Pembahasan Ekspansi Binomial Newton

Diketahui bentuk binomial $ (3a + b)^{50} \, $. Temukan koefisien dari suku yang berbentuk $ a^{26}b^{24} \, $ dan terletak pada suku ke berapakah suku tersebut.

Penyelesaian :
Untuk Teori Dasar Penyelesaian dan Rumus Binomial Ini Anda harus Baca: Materi Ekspansi Binomial
Bentuk $ (3a + b)^{50} \, $ , bisa diketahui $ n = 50 $.
Rumus suku ke-$k $ adalah $ C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} \, $ sehingga sama dengan $ a^{26}b^{24} $.
$ \begin{align} a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \\ a^{50-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \\ a^{50-(k-1)}b^{k-1} & = a^{26}b^{24} \end{align} $.

Dari persamaan diatas diperoleh : $ k - 1 = 24 \rightarrow k = 25 $.
Artinya bentuk $ a^{26}b^{24} \, $ adalah suku ke-25.

#Menentukan koefisien suku ke-25 dengan $ k = 25 $ dari bentuk $ (3a + b)^{50} \, $
$ \begin{align} C_{(k-1)}^n x^{n-(k-1)}x^{k-1} & = C_{(25-1)}^{50} (3a)^{50-(25-1)}(b)^{25-1} \\ & = C_{24}^{50} (3a)^{26}(b)^{24} \\ & = C_{24}^{50} 3^{26}a^{26}b^{24} \end{align} $.

Jadi, koefisien dari bentuk $ a^{26}b^{24} \, $ adalah $ C_{24}^{50} \times 3^{26} $.

#Soal 2

Diketahui $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $ . Tentukanlah suku yang memuat bentuk $ x^{16} \, $ dan tentukan juga besar koefisien suku itu.

Penyelesaian :
Bentuk $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $ , kita ketahui $ n = 2016 $.

Rumus suku ke-$k $ adalah $ C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} \, $ sehingga sama dengan $ x^{16} $.

Bentuk $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} = \left( x + (- \frac{1}{x} ) \right)^{2016} \, $ artinya $ a = x \, $ dan $ b = - \frac{1}{x} = -x^{-1} $.

$ \begin{align} a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = x^{16} \\ x^{2016-(k-1)}\left( -x^{-1} \right)^{k-1} & = x^{16} \\ x^{2017-k} . (-1)^{k-1} . \left( x^{-1} \right)^{k-1} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{2017-k} . \left( x \right)^{1-k} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{(2017-k)+(1-k)} & = x^{16} \\ (-1)^{k-1} . x^{2018 - 2k} & = x^{16} \\ \end{align} $.

Dari persamaan di atas didapat : $ 2018 - 2k = 16 \rightarrow k = 1001 $.

jaadi $ x^{16} \, $ adalah suku ke-1001.
Sekarang kita tentukan koefisien suku ke-1001 dengan $ k = 1001 $ dari bentuk $ \left( x - \frac{1}{x} \right)^{2016} \, $

$ \begin{align} C_{(k-1)}^n a^{n-(k-1)}b^{k-1} & = C_{(1001-1)}^{2016} (x)^{2016-(1001-1)}(-x^{-1})^{1001-1} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(-x^{-1})^{1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(x^{-1})^{1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016}(x)^{-1000} \\ & = C_{1000}^{2016} (x)^{1016 + (-1000)} \\ & = C_{1000}^{2016} x^{16} \end{align} $.

Jadi, koefisien dari $ x^{16} \, $ tersebut adalah $ C_{1000}^{2016} $.