Contoh Soal Maksimum Minimum dengan Turunan (Aplikasi)

Soal 1. Suatu perusahaan mempunyai x karyawan yang masing masing memperoleh gaji $ \frac {150}{x}-2x+200$ juta rupiah. Supaya gaji seluruh karyawan akan mencapai maksimum, tentukan banyak karyawannya...

Pembahasan:
Fungsi $ \frac {150}{x}-2x+200$ adalah gaji satu orang karyawan. Jika terdapat x karyawan maka gaji totalnya dalam fungsi,
$G(x)= ( \frac {150}{x}-2x+200) \times x \\ G(x) = 150 -2x^2+200x$
Nilai maksimum berada saat G'(x) =0 jadi
$G(x) = 150 -2x^2+200x \\ G'(x) = -4x+200 =0 \\ x=50$
Jadi jumlah karyawannya 50 orang.

Soal 2. Diketahui persegi panjang dengan keliling (2x+24) dan lebar (8-x) dalam cm. Agar luas maksimum, maka panjangnya=...

Pembahasan:
Kll = 2(p+l)
2x+24 = 2( p+ 8-x)
x+12 = p+8-x
p =2x-4
Luas = p.l
Luas =(2x-4)(8-x)
$Luas = -2x^2+20x-32$
Kondisi maksimum saat Luas' (turunan pertama) =0
Luas'=-4x+20=0
x=5
Panjang= 2x-4 = 2.5-4=6.

Soal 3. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya $5x^2 -10x+20$ dalam ribu rupiah untuk setiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp 40.000 /unit maka,
a) tentukan berapa unit yang harus terjual agar memperoleh keuntungan maksimum
b) Hitung keuntungan maksimum

Pembahasan:
Laba = Harga jual - Modal
Harga jual satu nya 40, untuk x barang 40x
Modal satu-nya $5x^2 -10x+20$ untuk x unit barang $(5x^2 -10x+20)x$
$Laba = 40x -( 5x^3 -10x^2+20x)$
Kondisi maksimum saat Laba'=0
$Laba' = 40 - (15x^2 -20x+20)=0$
sederhanakan
$Laba' =  3x^2 -4x-4=0$
Faktorkan
(x= -2/3 ,  x=2)
x=-2/3 Tidak digunakan karena jumlah barang tak mungkin negatif.
Jadi jumlah barang diproduksi 2 unit.

Keuntungan Maksimum:
$Laba = 40x -( 5x^3 -10x^2+20x)$
x=2
$Laba =40.2 -(5.2^3-10.2^2+20.2)=40 Ribu$