Contoh Soal dan Pembahasan: Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

Secara umum dasar menentukan posisi kedudukan titik terhadap lingkaran bisa dibentuk sebagai berikut,

1. Jika $ K < r^2 , \, $ maka titik A terletak di dalam lingkaran.
2. Jika $ K = r^2 , \, $ maka titik A terletak pada lingkaran.
3. Jika $ K > r^2 , \, $ maka titik A terletak di luar lingkaran.

Kita Tinjau dari berbagai macam bentuk persamaan Lingkaran untuk menentukan nilai K

#1. Titik A($x_1,y_1$) pada lingkaran : $ x^2 + y^2 = r^2 $
$ K = x_1^2 + y_1^2 $
Contoh Soal:
Tentukan posisi kedudukan titik-titik berikut terhadap lingkaran $x^2 + y^2 = 25$
 A(3,1) ;  B(-3,4) ;  C(5,-6)
$ \begin{align} A(3,1) \rightarrow K & = x^2 + y^2 \\ K & = 3^2 + 1^2 \\ K & = 9 + 1 = 10 \end{align} $
Nilai $ K = 10 < 25 , \, $ artinya titik A(3,1) terletak di dalam lingkaran $x^2 + y^2 = 25$
$ \begin{align} B(-3,4) \rightarrow K & = x^2 + y^2 \\ K & = (-3)^2 + 4^2 \\ K & = 9 + 16 = 25 \end{align} $
Nilai $ K = 25 , \, $ artinya titik B(-3,4) terletak pada lingkaran $x^2 + y^2 = 25$
$ \begin{align} C(5,-6) \rightarrow K & = x^2 + y^2 \\ K & = 5^2 + (-6)^2 \\ K & = 25 + 36 = 61 \end{align} $
Nilai $ K = 61 > 25 , \, $ artinya titik C(5,-6) terletak di luar lingkaran $x^2 + y^2 = 25$

#2 Kedudukan titik A($x_1,y_1$) pada lingkaran : $ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 $
$ K = (x_1-a)^2 + (y_1-b)^2 $
Contoh Soal
Tentukan kedudukan titik A(1,3) terhadap lingkaran $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 16 $ !
Penyelesaian :
Sesuai rumus $ K = (x-2)^2 + (y+1)^2 $ , dibandingkan dengan jari jari lingkaran yaitu 16.
*). Menentukan nilai $ K $ ,
$ \begin{align} A(1,3) \rightarrow K & = (x-2)^2 + (y+1)^2 \\ K & = (1-2)^2 + (3+1)^2 \\ K & = 1 + 16 = 17 \end{align} $
Nilai $ K = 17 > 16 , \, $ artinya titik A(1,3) terletak di luar lingkaran $ (x-2)^2 + (y+1)^2 = 16 $

#3 Kedudukan titik A($x_1,y_1$) pada lingkaran : $ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $
$ K = x_1^2 + y_1^2 + Ax_1 + By_1 + C $
Contoh Soal:
1). Tentukan kedudukan titik A(-1,2) terhadap lingkaran $ x^2 + y^2 -2x + 3y - 13 = 0 $ !
Penyelesaian :
Tentukan : $ K = x^2 + y^2 -2x + 3y - 13 $ ,dan bandingkan dengan 0.
Nilai $ K $ ,
$ \begin{align} A(-1,2) \rightarrow K & = x^2 + y^2 -2x + 3y - 13 \\ K & = (-1)^2 + 2^2 -2(-1) + 3.2 - 13 \\ K & = 1 + 4 + 2 + 6 - 13 = 0 \end{align} $
Nilai $ K = 0 , \, $ artinya titik A(-1,2) terletak pada lingkaran $ x^2 + y^2 -2x + 3y - 13 = 0 $

2). Agar titik B(-2,1) terletak pada lingkaran $ x^2 + y^2 - 3x + py - 3 = 0 , \, $ tentukan nilai $ p $ !
Penyelesaian :
Misalkan : $ K = x^2 + y^2 - 3x + py - 3 $ , dan bandingkan dengan 0.
Nilai $ K $ ,
$ \begin{align} B(-2,1) \rightarrow K & = x^2 + y^2 - 3x + py - 3 \\ K & = (-2)^2 + 1^2 - 3(-2) + p.1 - 3 \\ K & = 4 + 1 + 6 + p - 3 \\ K & = 8 + p \end{align} $
Supaya titik B terletak pada lingkaran, syaratnya : Nilai $ K = 0 $
$ \begin{align} K = 0 \rightarrow 8 + p = 0 \rightarrow p = -8 \end{align} $
Jadi, nilai $ p = -8 $ .