Rumus dan Pembuktian Menghitung Panjang Garis Bagi dengan Aturan Cosinus

Misal ada segitiga dengan elemen elemen seperti di atas. Garis bagi ditunjukkan oleh garis AD = d.
Besar sudut BAD = sudut CAD = $ x $.
Perbandingan sisi : $ \frac{m}{n} = \frac{c}{b} \rightarrow bm = cn \, $ ....pers(i).

Aturan Cosinus pada segitiga ABD,
$ m^2 = d^2 + c^2 - 2.d.c .\cos x , \, $ kalikan $ b $ kedua ruas,
$ \rightarrow b.m^2 = b.d^2 + b.c^2 - 2.b.d.c .\cos x \, $ ....pers(ii).

Aturan Cosinus pada segitiga ACD,
$ n^2 = d^2 + b^2 - 2.d.b .\cos x , \, $ kalikan $ c $ kedua ruas,
$ \rightarrow c.n^2 = c.d^2 + c.b^2 - 2.d.b .c.\cos x \, $ ....pers(iii).

Eliminasi pers(ii) dan pers(iii) :
$ \begin{array}{cc} b.m^2 = b.d^2 + b.c^2 - 2.b.d.c .\cos x & \\ c.n^2 = c.d^2 + c.b^2 - 2.d.b .c.\cos x & - \\ \hline b.m^2 - c.n^2 = d^2(b-c) - bc(b-c) & \end{array} $

Substitusi bentuk pers(i) : $ bm = cn $
$ \begin{align} b.m^2 - c.n^2 & = d^2(b-c) - bc(b-c) \\ (bm).m - (cn).n & = d^2(b-c) - bc(b-c) \\ (cn).m - (bm).n & = d^2(b-c) - bc(b-c) \\ -mn(b-c) & = d^2(b-c) - bc(b-c) \, \, \, \, \, \text{(bagi dg } b-c) \\ -mn & = d^2 - bc \\ d^2 & = bc - mn \end{align} $

Jadi, terbukti panjang garis bagi $ \, AD = d \, $ adalah
$ d^2 = bc - mn $