Soal-Pembahasan Titik Potong/Singgung 2 Lingkaran

Langkah-langkah menentukan titik potong atau titik singgung Dua lingkaran, yaitu :
1). Eliminasi  2 persamaan lingkaran sehingga terbentuk persamaan garis.
2). Substitusi persamaan garis pada langkah 1 ke salah satu pers lingkaran, lalu tentukan nilai $ x \, $ dan $ y $ .

Contoh Soal:
Tentukan titik potong kedua lingkaran dengan persamaan $ L_1 : (x-1)^2 + (y+3)^2 = 25 \, $ dan lingkaran $ L_2 : (x+ 2)^2 + (y -1)^2 = 9 $.

Penyelesaian :
Persamaan Lingkaran yang ada
$ L_1 : (x-1)^2 + (y+3)^2 = 25 \rightarrow x^2 + y^2 - 2x + 6y = 15 $
$ L_2 : (x+ 2)^2 + (y -1)^2 = 9 \rightarrow x^2 + y^2 + 4x + -2y = 4 $
Langkah 1,
$ \begin{array}{cc} x^2 + y^2 - 2x + 6y = 15 & \\ x^2 + y^2 + 4x + -2y = 4 & - \\ \hline -6y + 8y = 11 & \end{array} $
Langkah 2
$ -6x + 8y = 11 \rightarrow y = \frac{1}{8}(11 + 6x) $
$\begin{align} x^2 + y^2 + 4x + -2y & = 4 \\ x^2 + [\frac{1}{8}(11 + 6x)]^2 + 4x + -2[\frac{1}{8}(11 + 6x)] & = 4 \\ x^2 + \frac{1}{64}(36x^2 + 132x + 121) + 4x -\frac{2}{8}(11 + 6x) & = 4 \, \, \, \, \text{(kali 64)} \\ 64x^2 + (36x^2 + 132x + 121) + 256x -16(11 + 6x) & = 256 \\ 64x^2 + (36x^2 + 132x + 121) + 256x -171 - 96x & = 256 \\ 100x^2 + 292x - 306 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 2)} \\ 50x^2 + 146x - 153 & = 0 \\ a = 50, \, b = 146, \, c & = -153 \end{align} $
Faktorkan persamaan dengan rumus ABC persamaan kuadrat. : $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4.a.c}}{2a} \, $ 
$\begin{align} 50x^2 + 146x - 153 & = 0 \\ a = 50, \, b = 146, \, c & = -153 \\ x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4.a.c}}{2a} \\ x & = \frac{-146 \pm \sqrt{146^2 - 4.50.(-153)}}{2.50} \\ x & = \frac{-146 \pm \sqrt{51916}}{100} \\ x & = \frac{-146 \pm 227,8}{100} \\ x & = \frac{81,8}{100} \\ x_1 & = 0,818 = 0,8 \\ x & = \frac{-146 - 227,8}{100} \\ x & = \frac{-373,8}{100} \\ x_2 & = -3,738 = -3,7 \end{align} $
Untuk menghitung nilai y Substitusi nilai $ x $ ke persamaan garis $ y = \frac{1}{8}(11 + 6x) $
$ x_1 = 0,8 \rightarrow y_1 = \frac{1}{8}(11 + 6x) = \frac{1}{8}(11 + 6(0,8)) = 1,98 $
$ x_2 = -3,7 \rightarrow y_2 = \frac{1}{8}(11 + 6x) = \frac{1}{8}(11 + 6(-3,7)) = -1,4 $
Jadi, titik potong kedua lingkaran tersebut  (0.8 , 1.98) dan (-3.7 , -1.4).