Pembahasan Soal UM UGM MAT IPA 2019 Kode Soal 624 (Trigonometri)
Jika $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ , maka nilai minimum dari $ \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $ tercapai saat $ x = .... $
A). $ 0 \, $
B). $ -\frac{\pi}{12} \, $
C). $ -\frac{\pi}{9} \, $
D). $ -\frac{\pi}{8} \, $
E). $ -\frac{\pi}{6} $
JAWAB
*). Diketahui fungsi $ y = \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $
atau $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
pada interval $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ atau ditulis $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
*). Mengubah bentuk fungsinya dan turunannya :
$\begin{align} y & = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) \\ y & = \tan [90^\circ - ( x+ 60^\circ )] - \cot [90^\circ - (120^\circ - x )] \\ y & = \tan (30^\circ - x) - \cot (x - 30^\circ) \\ y & = -\tan (x - 30^\circ ) - \cot (x - 30^\circ) \\ y & = -\frac{\sin (x - 30^\circ )}{\cos (x - 30^\circ )} - \frac{\cos (x - 30^\circ )}{\sin (x - 30^\circ )} \\ y & = \frac{-\sin ^2 (x - 30^\circ ) - \cos ^2 (x - 30^\circ )}{\sin (x - 30^\circ ). \cos (x - 30^\circ )} \\ y & = \frac{-[\sin ^2 (x - 30^\circ ) + \cos ^2 (x - 30^\circ )]}{\frac{1}{2} . \sin 2(x - 30^\circ )} \\ y & = \frac{-2}{\sin (2x - 60^\circ )} = -2\csc (2x - 60^\circ ) \\ y^\prime & = (-2). (2). (-\csc (2x - 60^\circ ) . \cot (2x - 60^\circ )) \\ & = 4. \frac{1}{\sin (2x - 60^\circ )} . \frac{\cos (2x - 60^\circ ) }{\sin (2x - 60^\circ )} \\ & = \frac{4 \cos (2x - 60^\circ ) }{\sin ^2 (2x - 60^\circ )} \end{align} $
*). Syarat $ y^\prime = 0 $
$ \begin{align} y^\prime & = 0 \\ \frac{4 \cos (2x - 60^\circ ) }{\sin ^2 (2x - 60^\circ )} & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ \end{align} $
*). Penyelesaian dari $ \cos (2x - 60^\circ ) = \cos 90^\circ $ :
Artinya $ f(x) = (2x - 60^\circ ) $ dan $ \theta = 90^\circ $
(i). $ f(x) = \theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = 150^\circ + k . 360^\circ \\ x & = 75^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -115^\circ , 75^\circ , ... \} $
Tidak ada yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
(ii). $ f(x) = -\theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = -\cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = -30^\circ + k . 360^\circ \\ x & = -15^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -195^\circ , -15^\circ , 175^\circ , ... \} $
hanya $ x = -15^\circ $ yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
*). Kita Uji nilai $ x = -15^\circ $ dan batas interval yaitu $ x = -30^\circ $ dan $ x = 0^\circ $ ke fungsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
$\begin{align} x = -30^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -30^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-30^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 30^\circ \right)- \tan \left(150^\circ \right) \\ & = \sqrt{3}- \left( -\frac{1}{3}\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \\ x = -15^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -15^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-15^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 45^\circ \right)- \tan \left(135^\circ \right) \\ & = 1- \left( -1 \right) \\ & = 2 \\ x = 0^\circ \rightarrow y & = \cot \left( 0^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (0^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ \right) \\ & = \frac{1}{3}\sqrt{3}- \left( -\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \end{align} $
FUngsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $ nilainya minimum saat $ x = -15^\circ $.
Jadi, minimum untuk $ x = -15^\circ = -\frac{\pi}{12} . $
A). $ 0 \, $
B). $ -\frac{\pi}{12} \, $
C). $ -\frac{\pi}{9} \, $
D). $ -\frac{\pi}{8} \, $
E). $ -\frac{\pi}{6} $
CATATAN
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai minimum atau maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
Jika ada interval $ a \leq x \leq b \, $ , maka batas intervalnya juga bisa menjadi kandidat menyebabkan fungsi $ y=f(x) $ maksimum atau minimum ($ x = a $ dan $ x = b $ juga dicek nilainya ke fungsi $ y = f(x) $).
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \csc g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . (-\csc g(x) . \cot g(x)) $
*). Rumus trigonometri dasar :
$ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \, $ dan $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} $
$ \cot A = \tan (90^\circ - A) \, $ dan $ \tan A = \cot (90^\circ - A) $
$ \tan (A-B) = -\tan (B-A) $
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $
$ \sin 2A = 2\sin A . \cos A $
$ \csc A = \frac{1}{\sin A} \, $ dan $ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} $
*). Penyelesaian persamaan trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki penyelesaian :
(i). $ f(x) = \theta + k.360^\circ $ dan
(i). $ f(x) = -\theta + k.360^\circ $
Nilai $ \pi = 180^\circ $ dan $ k $ bilangan bulat
*). Fungsi $ y = f(x) $ mencapai minimum atau maksimum pada saat $ x $ memenuhi $ f^\prime (x) = 0 $
Jika ada interval $ a \leq x \leq b \, $ , maka batas intervalnya juga bisa menjadi kandidat menyebabkan fungsi $ y=f(x) $ maksimum atau minimum ($ x = a $ dan $ x = b $ juga dicek nilainya ke fungsi $ y = f(x) $).
*). Turunan fungsi trigonometri :
$ y = \csc g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . (-\csc g(x) . \cot g(x)) $
*). Rumus trigonometri dasar :
$ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} \, $ dan $ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} $
$ \cot A = \tan (90^\circ - A) \, $ dan $ \tan A = \cot (90^\circ - A) $
$ \tan (A-B) = -\tan (B-A) $
$ \sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 $
$ \sin 2A = 2\sin A . \cos A $
$ \csc A = \frac{1}{\sin A} \, $ dan $ \cot A = \frac{\cos A}{\sin A} $
*). Penyelesaian persamaan trigonometri :
$ \cos f(x) = \cos \theta \, $ memiliki penyelesaian :
(i). $ f(x) = \theta + k.360^\circ $ dan
(i). $ f(x) = -\theta + k.360^\circ $
Nilai $ \pi = 180^\circ $ dan $ k $ bilangan bulat
JAWAB
*). Diketahui fungsi $ y = \cot \left( x+\frac{\pi}{3} \right)- \tan \left(\frac{2\pi}{3} - x \right) $
atau $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
pada interval $ x \in \left[ -\frac{\pi}{6} , 0 \right] $ atau ditulis $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
*). Mengubah bentuk fungsinya dan turunannya :
$\begin{align} y & = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) \\ y & = \tan [90^\circ - ( x+ 60^\circ )] - \cot [90^\circ - (120^\circ - x )] \\ y & = \tan (30^\circ - x) - \cot (x - 30^\circ) \\ y & = -\tan (x - 30^\circ ) - \cot (x - 30^\circ) \\ y & = -\frac{\sin (x - 30^\circ )}{\cos (x - 30^\circ )} - \frac{\cos (x - 30^\circ )}{\sin (x - 30^\circ )} \\ y & = \frac{-\sin ^2 (x - 30^\circ ) - \cos ^2 (x - 30^\circ )}{\sin (x - 30^\circ ). \cos (x - 30^\circ )} \\ y & = \frac{-[\sin ^2 (x - 30^\circ ) + \cos ^2 (x - 30^\circ )]}{\frac{1}{2} . \sin 2(x - 30^\circ )} \\ y & = \frac{-2}{\sin (2x - 60^\circ )} = -2\csc (2x - 60^\circ ) \\ y^\prime & = (-2). (2). (-\csc (2x - 60^\circ ) . \cot (2x - 60^\circ )) \\ & = 4. \frac{1}{\sin (2x - 60^\circ )} . \frac{\cos (2x - 60^\circ ) }{\sin (2x - 60^\circ )} \\ & = \frac{4 \cos (2x - 60^\circ ) }{\sin ^2 (2x - 60^\circ )} \end{align} $
*). Syarat $ y^\prime = 0 $
$ \begin{align} y^\prime & = 0 \\ \frac{4 \cos (2x - 60^\circ ) }{\sin ^2 (2x - 60^\circ )} & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = 0 \\ \cos (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ \end{align} $
*). Penyelesaian dari $ \cos (2x - 60^\circ ) = \cos 90^\circ $ :
Artinya $ f(x) = (2x - 60^\circ ) $ dan $ \theta = 90^\circ $
(i). $ f(x) = \theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = \cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = 150^\circ + k . 360^\circ \\ x & = 75^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -115^\circ , 75^\circ , ... \} $
Tidak ada yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
(ii). $ f(x) = -\theta + k. 360^\circ $
$\begin{align} (2x - 60^\circ ) & = -\cos 90^\circ + k. 360^\circ \\ 2x & = -30^\circ + k . 360^\circ \\ x & = -15^\circ + k . 180^\circ \\ \end{align} $
$ x = \{ ..., -195^\circ , -15^\circ , 175^\circ , ... \} $
hanya $ x = -15^\circ $ yang memenuhi interval $ - 30^\circ \leq x \leq 0^\circ $
*). Kita Uji nilai $ x = -15^\circ $ dan batas interval yaitu $ x = -30^\circ $ dan $ x = 0^\circ $ ke fungsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $
$\begin{align} x = -30^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -30^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-30^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 30^\circ \right)- \tan \left(150^\circ \right) \\ & = \sqrt{3}- \left( -\frac{1}{3}\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \\ x = -15^\circ \rightarrow y & = \cot \left( -15^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (-15^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 45^\circ \right)- \tan \left(135^\circ \right) \\ & = 1- \left( -1 \right) \\ & = 2 \\ x = 0^\circ \rightarrow y & = \cot \left( 0^\circ+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - (0^\circ) \right) \\ & = \cot \left( 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ \right) \\ & = \frac{1}{3}\sqrt{3}- \left( -\sqrt{3} \right) \\ & = \frac{4}{3}\sqrt{3} \end{align} $
FUngsi $ y = \cot \left( x+ 60^\circ \right)- \tan \left(120^\circ - x \right) $ nilainya minimum saat $ x = -15^\circ $.
Jadi, minimum untuk $ x = -15^\circ = -\frac{\pi}{12} . $
Posting Komentar untuk "Pembahasan Soal UM UGM MAT IPA 2019 Kode Soal 624 (Trigonometri)"