Soal Jawab Trigonometri UM UGM 2019 MAT IPA Kode 924

Jika $ \sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0 $ untuk $ \frac{\pi}{2}< x < \pi $ , maka $ \tan 2x = ... $
A). $ -\sqrt{3} \, $ B). $ -1 \, $ C). $ -\frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ D). $ \frac{1}{3}\sqrt{3} \, $ E). $ \sqrt{3} $

Materi terkait:
 Rumus jumlah trigonometri :
$ \sin A + \sin B = 2\sin \left( \frac{A+B}{2} \right)\cos \left( \frac{A-B}{2} \right) $

Nilai trigonometri :
Untuk $ 90^\circ < x < 180^\circ $ berlaku :
$ \cos x = -\frac{1}{2} \rightarrow x = 120^\circ $.

Nilai $ \tan 240^\circ = \tan (180^\circ + 60^\circ ) = \tan 60^\circ = \sqrt{3} $

Pembahasan
Nilai $ x $ :
$ \begin{align} \sin x + \sin 2x + \sin 3x & = 0 \\ ( \sin 3x + \sin x ) + \sin 2x & = 0 \\ 2\sin \left( \frac{3x+x}{2} \right)\cos \left( \frac{3x-x}{2} \right) + \sin 2x & = 0 \\ 2\sin 2x \cos x + \sin 2x & = 0 \\ \sin 2x ( 2 \cos x + 1) & = 0 \\ \sin 2x = 0 \vee 2 \cos x + 1 & = 0 \\ \sin 2x = 0 \vee \cos x & = -\frac{1}{2} \end{align} $
Karena $ \frac{\pi}{2}< x < \pi $, maka yang memenuhi $ \cos x = -\frac{1}{2} $
Untuk $ \cos x = -\frac{1}{2} \, $ maka $ x = 120^\circ $

Nilai $ \tan 2x $ :
$ \begin{align} \tan 2x & = \tan 2\times 120^\circ \\ & = \tan 240^\circ = \sqrt{3} \end{align} $
Jadi, nilai $ \tan 2x = \sqrt{3} .