Soal Pembahasan Matriks UM UGM MAT IPA 2019 Kode Soal 924

Diberikan empat matriks A, B, C, D berukuran $ 2\times 2 $ dengan $A+CB^T=CD $. Jika A mempunyai invers, $ det(D^T-B)= m $ dan $ det(C) = n $ , maka $ det(2A^{-1}) = .... $
A). $ \frac{4}{mn} \, $
B). $ \frac{mn}{4} \, $
C). $ \frac{4m}{n} \, $
D). $ 4mn \, $
E). $ \frac{m+n}{4} \, $

Harus Menguasai
*). Sifat transpose matriks :
1). $ A = (A^T)^T $
2). $ (A-B)^T = A^T -B^T $
*). Sifat-sifat determinan :
1). $ |A^T| = |A| $
2). $ |A.B| = |A|. |B| $
3). $ |A^{-1}| = \frac{1}{|A|} $
4). $ |k.A_{m\times m}| = k^m. |A| $

Pembahasan
Diketahui $ det(D^T-B)= m $ dan $ det(C) = n $ :
Transpose :
$ D - B^T = [(D-B^T)^T]^T = [D^T-(B^T)^T]^T = (D^T - B)^T $
Determinan matriks $ D - B^T $ :
$ |D - B^T| = | (D^T - B)^T | = |D^T - B | = m $
Determinan matriks A :
$\begin{align} A+CB^T& =CD \\ A & = CD - CB^T \\ A & = C(D - B^T) \\ |A| & = |C(D - B^T)| \\ |A| & = |C|.|(D - B^T)| \\ |A| & = n.m = mn \end{align} $
$ det(2A^{-1}) $ :
$\begin{align} |2A^{-1}| & = 2^2 |A^{-1}| = 4 . \frac{1}{|A|} = 4. \frac{1}{mn} = \frac{4}{mn} \end{align} $
Jadi, nilai $ det(2A^{-1}) = \frac{4}{mn} . \, \heartsuit $