Soal Pembahasan Suku Banyak UM UGM MAT IPA 2019 Kode Soal 924

Jika $ (x-2)^2 $ membagi $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ , maka $ ab= .... $
A). $ 9 \, $ B). $ 12 \, $ C). $ 16 \, $ D). $ 20 \, $ E). $ 25 \, $

Catatan
*). Untuk pembagian pada suku banyak (polinomial) menggunakan metode horner umum, silahkan baca artikelnya pada link berikut :
"Pembagian Suku Banyak dengan Metode Horner"
*). Suku banyak $ f(x) $ habis dibagi oleh $ p(x) $ , artinya sisanya nol.
*). Suku banyak $ f(x) $ di bagi $ p(x) = ax^2+bx+c $ memiliki sisa $ s(x)= mx + n $. Jika habis dibagi, maka haruslah $ m = 0 $ dan $ n = 0 $.

Pembahasan
Polinomial $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ dibagi $ (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 $ :
Metode Horner Umum :
$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & -a & b & 4 & -4 & \\ 4 & * & 4 & -4a + 16 & 4b-16a+48 & * & \\ -4 & * & * & -4 & 4a - 16 & -4b+16a-48 & + \\ \hline & 1 & -a+4 & b-4a+12 & 4b - 12a + 36 & -4b+16a - 52 & \end{array} $
Sehingga sisa pembagiannya :
$ s(x) = (4b - 12a + 36)x + (-4b+16a - 52) $
Karena habis dibagi, maka sisanya nol, artinya :
$ 4b - 12a + 36 = 0 \, $ ..........(i)
$ -4b+16a - 52 = 0 \, $ ..........(ii)
Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{cc} 4b - 12a + 36 = 0 & \\ -4b+16a - 52 = 0 & + \\ \hline 4a - 16 = 0 & \\ a = 4 & \end{array} $
-). Substitusi $ a = 4 $ ke pers(i), kita peroleh $ b = 3 $.
Nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = 4. 3 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = 12 $

Alternatif 1

CATATAN
*). Untuk pembagian pada suku banyak (polinomial) menggunakan metode horner umum, silahkan baca artikelnya pada link berikut :
"Pembagian Suku Banyak dengan Metode Horner"
*). Suku banyak $ f(x) $ habis dibagi oleh $ p(x) $ , artinya sisanya nol.
*). Suku banyak $ f(x) $ di bagi $ p(x) = ax^2+bx+c $ memiliki sisa $ s(x)= mx + n $. Jika habis dibagi, maka haruslah $ m = 0 $ dan $ n = 0 $.

Pembahasan
*). Polinomial $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ dibagi $ (x-2)^2 $ :
Akar-akar pembaginya :
$ (x-2)^2 = 0 \rightarrow (x-2)(x-2) = 0 \rightarrow x_1 = 2 \vee x_2 = 2 $.
*). Metode Horner Khusus :
-). Bagan/skemanya yaitu :
$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & -a & b & 4 & -4 & \\ x_1 & * & ... & ... & ... & ... & + \\ \hline & ... & ... & ... & ... & s_1 & \\ x_2 & * & ... & ... & ... & & + \\ \hline & ... & ... & ... & s_2 & & \end{array} $
-). Kita lengkapkan bagian yang kosong(titik-titik):
$\begin{array}{c|cccccc} & 1 & -a & b & 4 & -4 & \\ 2 & * & 2 & -2a + 4 & 2b-4a+8 & 4b-8a+24 & + \\ \hline & 1 & -a+2 & b-2a+4 & 2b - 4a + 12 & 4b-8a +20 & \\ 2 & * & 2 & -2a+8 & 2b -8a+24 & & + \\ \hline & 1 & -a+4 & b-4a+12 & 4b-12a+36 & & \end{array} $
Sehingga sisa pembagiannya :
$ s(x) = s_2(x-x_1) + s_1 $
Karena habis dibagi, maka sisanya nol, artinya :
$ s_1=0 \rightarrow 4b-8a +20 = 0 \, $ ..........(i)
$ s_2 = 0 \rightarrow 4b-12a+36 = 0 \, $ ..........(ii)
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{cc} 4b-8a +20 = 0 & \\ 4b-12a+36 = 0 & - \\ \hline 4a - 16 = 0 & \\ a = 4 & \end{array} $
-). Substitusi $ a = 4 $ ke pers(i), kita peroleh $ b = 3 $.
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = 4. 3 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = 12 . \, \heartsuit $

Alternatif 2

Catatan
*). Misalkan polinomial $ f(x) $ habis dibagi $ p(x) $ artinya $ f(x) $ adalah hasil perkalian dengan $ p(x) $ yaitu : $ f(x) = p(x). h(x) $ dengan $ h(x) $ adalah faktor lainnya.
*). Proses berikutnya tinggal menyamakan nilai koefisien suku-suku yang sejenis.

Jawab
*). Polinomial $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ dibagi $ (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 $ :
*). Bentuk faktor dari $ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 $ :
$\begin{align} x^4-ax^3+bx^2+4x-4 & = (x^2-4x+4)(x^2 + px - 1) \\ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 & = x^4 +px^3 -x^2 - 4x^3 -4px^2 \\ & \, \, \, +4x +4x^2 + 4px - 4 \\ x^4-ax^3+bx^2+4x-4 & = x^4 + (p-4)x^3 + (3-4p)x^2 + (4p+4)x - 4 \end{align} $
Dari kesamaan bentuk terakhir di atas, kita peroleh kesamaan berdasarkan koefisien suku-suku sejenis yaitu :
$ 4p+4 = 4 \rightarrow p = 0 $
$ -a = p-4 \rightarrow -a = 0-4 \rightarrow a = 4 $
$ b = 3-4p \rightarrow b = 3. 4.0 \rightarrow b = 3 $
*). Menentukan nilai $ ab $ :
$\begin{align} ab & = 4. 3 = 12 \end{align} $
Jadi, nilai $ ab = 12 . \, \heartsuit $